粗糙波动率论文图谱（简报）
粗糙波动率论文图谱
Jim Gatheral 与 Mathieu Rosenbaum 论文简报
本简报梳理 Jim Gatheral 与 Mathieu Rosenbaum 在粗糙波动率领域的代表性论文：从 H ≈ 0.1
的实证发现，到 Rough Heston 模型族、微观结构基础与市场冲击理论，直至 2024—2025 年的
统计推断前沿。
收录 22 篇 · 时间跨度 2006—2025 · 2026 年 10 月编
目录
- 一、研究综述
- 二、两位学者与共同研究主线
- 三、奠基之作：《Volatility is Rough》
- 四、Rough Heston 模型族
- 五、微观结构基础与无套利约束
- 六、波动率曲面建模与模型近似
- 七、统计推断与机器学习前沿（2024—2025）
- 八、研究脉络与核心论文速览
- 九、研究脉络小结
- 参考文献
一、研究综述
粗糙波动率（rough volatility）是近十年来量化金融领域最具影响力的研究方向之一。其核心主张是：
对数波动率的路径远比布朗运动更“粗糙”——刻画其自相似性的 Hurst 指数 H 约为 0.1，而经典模型
假定 H = 0.5。这一发现动摇了随机波动率建模的经典假设，并由此发展出一整套涵盖实证检验、模型
构造、微观结构解释与统计推断的新理论。
本简报围绕 Jim Gatheral 与 Mathieu Rosenbaum 两位学者，系统梳理其代表性论文与研究脉络，勾勒
该领域在 2014—2025 年间从实证异常走向完整理论框架的完整过程。
关键量化指标
| 指标 | 数值 | 说明 |
| :--- | :--- | :--- |
| Hurst 指数 | H ≈ 0.1 | 对数波动率的粗糙程度 |
| 估计区间 | 0.08 — 0.2 | 多资产样本上的系统估计 |
| 论文首版年份 | 2014 | 《Volatility is Rough》arXiv 首版 |
| 收录论文 | 22 篇 | 本简报收录的代表作 |
二、两位学者与共同研究主线
2.1 Jim Gatheral
纽约城市大学巴鲁克学院（Baruch College, CUNY）金融学教授，曾长期担任美林证券（Merrill Lynch）
量化研究部门负责人。他是波动率曲面建模领域的权威，著有业内标准参考书《The Volatility Surface:
A Practitioner's Guide》（2006）。他提出的 SVI（Stochastic Volatility Inspired）参数化方法被业界
广泛用于隐含波动率微笑的拟合与套利检验。他的研究重心近年来转向粗糙波动率下的期权定价、对冲与
模型近似，属于该领域公认的奠基人之一。
2.2 Mathieu Rosenbaum
巴黎综合理工学院（École Polytechnique）应用数学教授，粗糙波动率理论的另一位奠基人。他曾主持
欧洲研究委员会（ERC）资助项目 STAQAMOF（2016—2021），该项目围绕“跨时间尺度的统计建模”开展
研究，产出了 13 篇同行评议论文。他的研究横跨市场微观结构、Hawkes 过程、最优执行与高频统计
推断，擅长在微观交易机制与宏观价格行为之间搭建严格的数学桥梁。
2.3 共同主线
两人的合作围绕一条清晰的主线展开：首先在数据中发现波动率的粗糙性（H ≈ 0.1），继而构造可校准、
可计算的新模型，再回到市场微观结构中寻找其经济来源。Gatheral 提供波动率曲面建模与模型近似的
工具，Rosenbaum 提供随机分析与微观结构建模的工具，二者的结合使粗糙波动率从一篇论文扩展为一个
学科分支。
三、奠基之作：《Volatility is Rough》
该论文于 2014 年 10 月首次发布于 arXiv（arXiv:1410.3394），2018 年正式发表于 *Quantitative
Finance* 第 18 卷第 6 期（933—949 页），作者为 Jim Gatheral、Thibault Jaisson 与 Mathieu
Rosenbaum。它是粗糙波动率研究的起点，也是该领域被引用最多的论文。
3.1 核心发现
论文对多个主要资产（DAX 与 Bund 期货、标普 500 与 NASDAQ 指数）的已实现波动率进行高频估计，
发现对数波动率的增量近似服从正态分布，且具有单分形标度性质。论文最关键的发现是，平滑参数
（Hurst 指数）在所有样本上系统性地落在 0.08 至 0.2 之间，远低于布朗运动的 0.5。作者据此
提出粗糙分数随机波动率模型（RFSV, Rough Fractional Stochastic Volatility），即取 H < 1/2 的
分数随机波动率模型。
为什么这一发现重要
在经典模型中，波动率被视为具有长记忆性的平滑过程（H > 1/2）；而 RFSV 表明波动率实际上是
“粗糙”的（H ≈ 0.1）。这一差异改变了模型的路径正则性、短期微笑形状与波动率预测方式，属于
范式级别的修正。
3.2 四项影响
其一，重新解释了波动率长记忆之谜。 RFSV 本身并不具备真正的长记忆性，但传统检验长记忆的
统计方法会在其生成的数据中错误地判定存在长记忆。这解释了为什么“波动率具有长记忆”长期被当作
典型事实。
其二，为波动率曲面形状提供了新解释。 小 H 值与到期日趋近于零时隐含波动率微笑的爆炸式增长
相一致，为“短期微笑陡峭必然源于跳跃”的传统观点提供了一个自然的反例。
其三，改进波动率预测。 RFSV 的波动率预测表现优于传统的 AR 与 HAR 模型。
其四，指向微观结构来源。 作者将波动率的粗糙性与高频交易、订单拆分行为相联系，为后续的
微观结构研究提供了方向。
四、Rough Heston 模型族
《Volatility is Rough》指出了波动率的粗糙性，但 H < 1/2 的分数波动率过程不再是半鞅，传统随机
分析工具失效。Rough Heston 模型族解决的是“如何既保持粗糙性、又获得可计算的定价公式”这一问题。
4.1 Roughening Heston（2019）
作者为 Omar El Euch、Jim Gatheral 与 Mathieu Rosenbaum，发表于 Risk 杂志。该文将经典 Heston
模型中的方差过程替换为由分数幂核驱动的 Volterra 过程，得到“粗糙 Heston 模型”。其关键优势在于
特征函数具有半解析形式，只需求解一个分数 Riccati 方程即可，因而在保持粗糙波动率拟合能力的
同时具备实际可用的计算效率。
4.2 粗糙 Heston 下的 Zumbach 效应（2020）
作者为 Omar El Euch、Jim Gatheral、Radoš Radoičić 与 Mathieu Rosenbaum，发表于 *Quantitative
Finance* 第 20 卷第 2 期（235—241 页）。Zumbach 效应指的是：**过去的平方收益对未来波动率的预测
能力，强于过去的波动率对未来平方收益的预测能力**。该效应在经典 Heston 模型下几乎为零，与实证
不符；论文给出了粗糙 Heston 模型下该效应的显式计算，结果与实证估计一致。
4.3 二次 Rough Heston 模型（2020）
作者为 Jim Gatheral、Paul Jusselin 与 Mathieu Rosenbaum，发表于 Risk 杂志。该模型在粗糙 Heston
框架中引入 Zumbach 效应，以解决标普 500 与 VIX 两个微笑曲面的联合校准问题——这是波动率建模
中长期存在的难题：能够拟合指数期权微笑的模型往往无法同时拟合 VIX 期权微笑。
五、微观结构基础与无套利约束
如果波动率真的是粗糙的，它的经济来源是什么？这一部分的工作把粗糙性“下推”到订单流层面，回答的
是模型的微观基础问题。
5.1 Hawkes 过程的极限定理（2015、2016）
Thibault Jaisson 与 Mathieu Rosenbaum 先后证明了两条极限定理：近不稳定的 Hawkes 过程经过适当
标度后收敛到分数布朗运动；而当核函数具有重尾特性时，极限是粗糙分数扩散（H < 1/2）。这为
“粗糙波动率源自订单流的长记忆与近不稳定交易活动”提供了严格的数学论证，是该领域最重要的微观
结构基础。
5.2 杠杆效应与粗糙波动率的微观基础（2018）
作者为 Omar El Euch、Masaaki Fukasawa 与 Mathieu Rosenbaum，发表于 Finance and Stochastics
第 22 卷 241—280 页。论文在微观结构模型中同时导出了杠杆效应与粗糙波动率，说明二者可以是同一
微观机制的产物，而非彼此独立的经验规律。
5.3 无套利蕴含幂律市场冲击与粗糙波动率（2020）
作者为 Paul Jusselin 与 Mathieu Rosenbaum，发表于 Mathematical Finance 第 30 卷第 4 期
（1309—1336 页）。论文证明：在无套利假设下，市场冲击函数只能是幂律型，且宏观价格过程具有
粗糙波动率；冲击的幂指数与波动率的 Hurst 参数之间存在一一对应关系。这一结果把市场冲击与粗糙
波动率统一在同一个理论框架内，是该方向最具理论说服力的工作之一。
5.4 从二次 Hawkes 过程到 Super-Heston 模型（2021）
作者为 Rudra Dandapani、Paul Jusselin 与 Mathieu Rosenbaum，发表于 Quantitative Finance 第 21
卷第 8 期（1235—1247 页）。论文由具有 Zumbach 效应的二次 Hawkes 过程为起点，构造出 Super-Heston
型粗糙波动率模型，使微观机制与宏观现象之间的对应更加完整。
5.5 多维推广与期权价格证据
Mathieu Rosenbaum 与 Mehdi Tomas 在 Advances in Applied Probability 第 53 卷第 2 期
（425—462 页）中，将微观价格动力学推广到多维粗糙波动率模型；Giulia Livieri、Saad Mouti、Andrea
Pallavicini 与 Mathieu Rosenbaum 则在 IISE Transactions 第 50 卷（767—776 页）中，直接从期权
价格数据中寻找粗糙波动率的证据。
六、波动率曲面建模与模型近似
这一主线体现了 Gatheral 的研究风格：从波动率曲面的实际形状出发，构造既能拟合市场、又满足
无套利条件的模型与近似公式。
6.1 《The Volatility Surface》（2006）
Gatheral 的专著，量化金融从业者的标准参考书，系统总结了随机波动率、局部波动率、SVI 参数化与
波动率曲面建模方法，为后续所有曲面相关工作提供了共同语言。
6.2 无套利 SVI 波动率曲面（2014）
作者为 Jim Gatheral 与 Antoine Jacquier，发表于 Quantitative Finance 第 14 卷第 1 期
（59—71 页）。论文给出了 SVI 参数化不存在静态套利（蝶式与日历价差）的充要条件，使这一业界
广泛使用的参数化方法获得了严格的理论保障，是实践与理论结合的代表作。
6.3 粗糙波动率下的期权定价（2016）
作者为 Christian Bayer、Peter Friz 与 Jim Gatheral，发表于 Quantitative Finance 第 16 卷第 6 期
（887—904 页）。论文提出 rBergomi 模型，说明 RFSV 框架可以同时为标的资产与积分方差上的衍生品
定价，并证明该模型对 SPX 波动率曲面的拟合显著优于传统马尔可夫型随机波动率模型，且所需参数更少。
6.4 仿射前向方差模型（2019）
作者为 Jim Gatheral 与 Martin Keller-Ressel，发表于 Finance and Stochastics 第 23 卷第 3 期
（501—533 页）。论文提出仿射前向方差（AFV）模型类，经典 Heston 模型与粗糙 Heston 模型都是其
特例，其特征函数可由卷积 Riccati 方程求解。这一统一框架说明了粗糙 Heston 的计算可行性并非巧合，
而是更一般结构的自然结果。
6.5 Rough SABR 公式（2022）
作者为 Masaaki Fukasawa 与 Jim Gatheral，发表于 Frontiers of Mathematical Finance 第 1 卷第 1 期
（81—97 页）。经典 SABR 公式无法刻画平价隐含波动率斜率的幂律期限结构，实践中不得不在不同到期日
使用不同参数。论文在粗糙波动率框架下推导出短期标准化微笑所满足的常微分方程，给出“Rough SABR
公式”，仅用一组参数即可描述整个波动率曲面的形状。
6.6 有理逼近的推广（2024）
作者为 Jim Gatheral 与 Radoš Radoičić，发表于 Quantitative Finance 第 24 卷第 2 期
（329—335 页）。论文将此前针对纯幂律核给出的粗糙 Heston 有理逼近（Padé 型近似）推广到带参数 λ
的 Mittag-Leffler 核的一般情形，并给出收敛性的数值证据，进一步提升了粗糙 Heston 的实用计算速度。
七、统计推断与机器学习前沿（2024—2025）
粗糙波动率早期受到的质疑之一是：能否用有限的高频数据可靠地估计 H？H 接近 0 意味着路径极其粗糙，
传统估计量在小样本下存在严重偏差。近年的工作逐步解决了这一方法论问题，使粗糙波动率从“可否检验”
走向“如何稳健估计”。
7.1 粗糙波动率的统计推断理论（2024）
Chong、Rosenbaum 与 Szymanski 在 The Annals of Statistics 第 52 卷第 4 期建立粗糙波动率参数
估计的极小极大理论，刻画了在给定观测频率与时间跨度下可达到的最优收敛速度；同一团队在 *The
Annals of Applied Probability* 第 34 卷第 3 期给出相应的中心极限定理，为区间估计与假设检验提供
了理论依据。这组工作标志着粗糙波动率的统计基础已经完善。
7.2 机器学习与粗糙波动率（2024）
Rosenbaum 与 Zhang 在 Frontiers of Mathematical Finance 第 3 卷第 1 期中，用机器学习方法研究
波动率的形成过程，发现数据驱动的最优模型与粗糙波动率模型的结论相互印证，说明粗糙波动率并非
特定参数化的人为产物。Tang、Rosenbaum 与 Zhou 则在 Digital Finance 第 6 卷第 4 期中，以
“加密寒冬”为样本检验了机器学习与粗糙波动率相结合的波动率预测方法。
7.3 SIAM 专著《Rough Volatility》（2024）
由 Christian Bayer、Peter Friz、Masaaki Fukasawa、Jim Gatheral、Antoine Jacquier 与 Mathieu
Rosenbaum 共同编著，SIAM 金融数学系列出版。这是该领域第一部系统性专著，《Volatility is Rough》
《Pricing under Rough Volatility》等奠基性论文均以章节形式收录，标志着粗糙波动率已成为成熟的
研究领域。
7.4 2025 年的新方向
Rosenbaum 与合作者（Muhle-Karbe、Ouazzabi Chahdi、Szymanski）正在推进“成交量—波动率—市场冲击”
的统一微观基础研究，尝试调和波动率的粗糙性与订单流自相关所用的平滑分数布朗运动。与此同时，
Gatheral 与 Bourgey 将二次 Rough Heston 模型应用于波动率偏斜黏性比率（SSR）的计算，继续验证
该模型对标普 500 与 VIX 微笑的联合拟合能力。
八、研究脉络与核心论文速览
下图按年份梳理本领域的关键节点，可见三条相互交织的线索：实证发现、模型构造与微观结构寻根。
表 1 核心论文速览
| 年份 | 论文标题 · 期刊 | 主要作者 | 核心贡献 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| 2014 | Arbitrage-free SVI volatility surfaces (QF) | Gatheral, Jacquier | 给出 SVI 无静态套利的充要条件 |
| 2016 | Pricing under rough volatility (QF) | Bayer, Friz, Gatheral | rBergomi 模型；SPX 曲面拟合优于经典模型 |
| 2015-16 | Limit theorems for nearly unstable Hawkes processes (AAP) | Jaisson, Rosenbaum | Hawkes 过程收敛到粗糙分数扩散 |
| 2018 | Volatility is rough (QF) | Gatheral, Jaisson, Rosenbaum | H ≈ 0.1；提出 RFSV 模型 |
| 2018 | Microstructural foundations of leverage effect and rough volatility (Fin. Stoch.) | El Euch, Fukasawa, Rosenbaum | 杠杆效应与粗糙性的统一微观起源 |
| 2019 | Roughening Heston (Risk) | El Euch, Gatheral, Rosenbaum | 粗糙 Heston 模型；特征函数半解析 |
| 2019 | Affine forward variance models (Fin. Stoch.) | Gatheral, Keller-Ressel | 统一 Heston 与粗糙 Heston 的仿射框架 |
| 2020 | The Zumbach effect under rough Heston (QF) | El Euch, Gatheral, Radoičić, Rosenbaum | 粗糙 Heston 下 Zumbach 效应的显式计算 |
| 2020 | The quadratic rough Heston model (Risk) | Gatheral, Jusselin, Rosenbaum | 标普 500 与 VIX 微笑的联合校准 |
| 2020 | No-arbitrage implies power-law market impact and rough volatility (MF) | Jusselin, Rosenbaum | 无套利 → 幂律冲击与粗糙波动率 |
| 2022 | A rough SABR formula (FMF) | Fukasawa, Gatheral | 短期微笑的 ODE 与近似公式 |
| 2024 | Statistical inference for rough volatility (AoS / AAP) | Chong, Rosenbaum, Szymanski | 极小极大理论与中心极限定理 |
注：QF = Quantitative Finance；AAP = Annals of Applied Probability；Fin. Stoch. = Finance and
Stochastics；MF = Mathematical Finance；FMF = Frontiers of Mathematical Finance；
AoS = Annals of Statistics。
九、研究脉络小结
综合来看，Gatheral 与 Rosenbaum 及合作者的工作可以概括为三条相互支撑的主线。
第一条主线是从实证异常到模型构造。 H ≈ 0.1 的实证发现催生了 RFSV 与 rough Heston 模型族，
随后通过仿射前向方差框架与有理逼近方法，解决了粗糙模型的计算可行性问题。
第二条主线是为粗糙性寻找微观结构根源。 Hawkes 过程的极限定理、杠杆效应的微观基础、以及
无套利对幂律市场冲击的约束，共同说明粗糙波动率并非模型的数学巧合，而是订单流机制的自然推论。
第三条主线是将理论工具化。 从波动率曲面校准、Rough SABR 近似，到统计推断的极小极大理论与
中心极限定理，粗糙波动率正在成为可校准、可估计、可检验的完整框架。
观察
这一研究进程的显著特点，是实证发现、模型构造与微观结构解释三者始终同步推进，而非各自独立
发展。Gatheral 的曲面建模直觉与 Rosenbaum 的随机分析工具相互补充，是这一领域能在十余年间
迅速成熟的重要原因。
参考文献
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- ROSENBAUM M, ZHANG J. On the universality of the volatility formation process: when machine learning and rough volatility agree[J]. Frontiers of Mathematical Finance, 2024, 3(1).
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