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统计量化基础-统计推断-概率基础

MankindevilMankindevil··786 浏览

吐槽：

公式我习惯用latex打，但是好像上下角标有问题，编辑界面是正常的， 比如最后一行Snipaste_20251104_225915.png，但是实际上网页显示不出来，我用图片替换了一部分，然后我发现图片大小也没法改，看得很丑，已经告诉it了，先凑付看吧，等改完再说吧。

引言

金融世界本质上是一个由不确定性驱动的大规模、实时的“数据实验室”。每一天，全球市场都在产生海量的数据——股票价格如心跳般起伏，宏观经济指标牵动着亿万资金的流向，公司财报则像一次次突然的“压力测试”。在这个充满“噪声”的复杂系统中，一个核心问题始终萦绕在每一位投资者、分析师和风险经理的心中：我们如何从这些随机波动的数据中，提取出有价值的信息，从而做出更明智的决策？统计就是核心。我计划写一个系列，尽可能帮助大家详细理解。（我自己顺便复习一下）

为什么要统计推断（Statistical Inference）？

统计推断是统计学的一个核心分支，它让我们能够利用从样本数据中计算得出的统计量，去对产生这些数据的总体参数做出合理的、量化的推断。我们几乎永远无法获得“总体”（永远无法到达oo的真实，我中了黄金镇魂曲？！）——我们无法知道所有未来可能的股价，无法遍历每一种经济情景，也无法让时间倒流进行无数次重复投资。我们能拥有的，仅仅是历史数据这一个“样本”。因此，我们必须依靠统计推断这把钥匙，来解锁数据背后的深层含义。

概率

先来点基础定义

定义：

  1. 样本空间（sample space）（$\Omega$）：一个实验所有可能结果的集合。
  2. 结果（outcome）、实现（realization） 或 元素（element）（$\omega$）：样本空间中的一个点，记为$\omega \in \Omega$。($\in$是属于的意思）
    (P.S. 一个意思，不用太细究区分，硬要说我理解实现realization就是需要进一步计算一下，见下文举例。)
  3. 事件（event） 或叫 随机事件（random event）($A$)：$\Omega$ 的一个子集，$A \subset \Omega$,即一些样本结果的集合。

我们来举一个简单的例子：标普500指数明天的价格
1.样本空间：

  • 最简样本空间只考虑最核心的方向:$\Omega_1= {\text{上涨}, \text{下跌}, \text{持平}}$.
  • 但是样本空间也可以在复杂一点，考虑方向和幅度。$\Omega_2= {\omega: \omega \in \mathbb{R} }$ 这里的 $\omega$代表具体的收益率百分比。例如，$\omega = +0.5%$或 $\omega = -1.2%$。但这是一个不可数无限样本空间。
  • 我们还可以将收益率离散来构造样本空间$\Omega_3= {\text{..., 大跌}(> -2%), \text{小跌}(-2% \sim 0%), \text{小涨}(0% \sim +2%), \text{大涨}(> +2%) }$
  1. 结果、实现 或 元素
    这是样本空间中的一个单一、不可再分的基本结果。对应到上面的样本空间的话如下：
  • 在 $\Omega_1$ 中，一个结果是：上涨。
  • 在 $\Omega_2$ 中，一个结果（或实现，因为这个东西需要自己定义收益公式，不是直接得到的）是：+0.45%。
  • 在 $\Omega_3$ 中，一个结果是：小涨(0% to +2%)。
  1. 事件

事件是样本空间的子集，即一个或多个结果的集合。这里在$\Omega_1$和$\Omega_3$中结果就是事件，因为每个结果都是独立的，并不存在同时上涨和下跌,大涨和大跌这种情况。这里举个其他的例子：

  • $A$: “标普500指数明日上涨” = ${ \omega \in \Omega_2 : \omega > 0 }$。这是一个包含无限多个结果（所有正收益率）的集合。
  • $B$: “标普500指数明日跌幅超过1%” = ${ \omega \in \Omega_2 : \omega < -1% }$。

更多的定义：

  1. 事件 $A$ 的补集：$A^c = {\omega \in \Omega : \omega \notin A}$。这里显然，$\Omega^c = \emptyset$（空集）。

  2. 事件 $A$ 与 $B$ 的并集(Or/Union) （我觉得用英文好记）：$A \cup B = {\omega \in \Omega : \omega \in A \text{ 或 } \omega \in B}$， 则有 $A \cup B = B \cup A$，且 $A \cup A^c = \Omega$。

  3. 事件 $A$ 与 $B$ 的交集(And/Intersection)：$A \cap B \equiv AB = {\omega \in \Omega : \omega \in A \text{ 且 } \omega \in B}$，则有 $A \cap B = B \cap A$，且 $A \cap A^c = \emptyset$。

  4. 事件序列的并与交(就是有一堆A,他们的交集并集可以用下面的数学符号表示)：如果 $A_1, A_2, \cdots$ 是一个事件序列，则：
    Snipaste_20251104_191624.png

  5. 事件 $A$ 与 $B$ 的差集(Difference):$A \setminus B = {\omega \in A : \omega \notin B}$
    也记作 $A - B$。

  6. 包含(Inclusion)关系：如果事件 $A$ 的发生意味着事件 $B$ 的发生，则称 $A \subset B$。注意$A$发生意味着$B$发生，但$B$发生不一定意味着$A$发生，所以$A$是$B$的子集但可能B不是A的子集（$B \not\subset A$）。

这个我就不具体举例了，举起来没完，记不住也不用太担心，用个一两回就记住了。

**以及更多的定义：**~~（数学是这样的，定义定理一大堆，但不记住的话你看啥都看不懂，所以说数学是语言，数学是文科没毛病）~~

  1. 互斥 或 不相交 事件： 如果 $A \cap B = \emptyset$，则 $A$ 和$B$ 是互斥的。根据之前定义的，显然 $A$ 和 $A^c$ 就是互斥的。比如，股票涨停和跌停就是互斥的，当然上涨与下跌与持平也是。

  2. 样本空间（$\Omega$） 的划分：一个不相交的事件序列 $A_1, A_2, \cdots$，使得
    $\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i = \Omega.$ 这个上文定义样本空间的时候就展示了，很直观。

  3. $A$ 的指示函数：Snipaste_20251104_192201.png,这是一个定义在 $\omega \in \Omega$ 上的函数：
    Snipaste_20251104_192236.png
    指数函数其实到处都是，而且很实用。例如，一个期权如果在交易日结束时股票上涨 ($A$) 则支付 1 美元，否则支付 0 美元。其支付函数就是$I_A$。上文中的$\Omega_3$就可以通过定义一个指示函数由$\Omega_2$得来，i.e. $\Omega_3=I_{\Omega_2}$。

  4. 单调事件序列及其极限：

  • 一个序列 $A_1, A_2, \cdots$ 单调递增，如果$A_1 \subset A_2 \subset \cdots \quad$ ,那么我们就可以定义$\lim_{n \to \infty} A_n = \cup_{i=1}^{\infty} A_i$。
  • 类似的，一个序列 $A_1, A_2, \cdots$ 单调递减，如果 $A_1 \supset A_2 \supset \cdots \quad$ ,那么我们就可以定义 $\lim_{n \to \infty} A_n = \cap_{i=1}^{\infty} A_i.$

在两种情况下，我们都可以写作 $A_n \to A$（$A_n$趋近于$A$)，其中 $A$ 表示其极限。(我也觉得很抽象）
我们来举一个例子方便理解：（其实不理解也没啥关系，我还没用到过这个）

  • 令 $\Omega = (-\infty, \infty)$，$A_i = [0, 1/i]$。那么$\lim_{n \to \infty} A_n =\cup_{i=1}^{\infty} A_i = [0, 1], \quad \cap_{i=1}^{\infty} A_i = {0}.$
  • 同样的样本空间下，如果我们改为 $A_i = (0, 1/i)$，那么 $\cup_{i=1}^{\infty} A_i = (0, 1)$ 且 $\cap_{i=1}^{\infty} A_i = \emptyset$。
  • 对于 $A_i = (-i, i)$，$\cup_{i=1}^{\infty} A_i = \Omega$。

怎么说呢，因为涉及到极限，我想到的现实一点的例子就是债券的久期（Duration）。但债券的久期感觉更难解释，之后要是有机会讲固收的话可以细讲。用个数学上比较常见的例子。先糊弄一下了 。

P.S. deepseek说： 单调事件序列的极限理论，为金融中分析"随着某个参数变化，风险如何累积或收敛"提供了严谨的框架。无论是评估极端损失（单调递减序列的极限）还是评估最大风险暴露（单调递增序列的极限），这都是至关重要的概念。久期正是衡量这种利率风险暴露的一个核心指标。(这我不懂desuwa，但我感觉应该有的是更常用的理论工具，比如时序time series，疯狂挖坑）

概率公理与性质

概率的定义：
一个函数$P$，它将一个实数$P(A)$分配给样本空间中的每个事件，如果满足以下三个条件，则称为概率函数：

i. 对任何事件$A$，有$P(A) \geq 0$，
ii. $P(\Omega) = 1$，且
iii. 对于互斥事件$A_1, A_2, \cdots$，有Snipaste_20251104_192610.png

举个栗子：
假设根据过去一年数据，AAPL 有 55% 的交易日上涨, 上涨记作事件$A$。那么：

  • $P(A) = P(\text{“上涨”}) = 0.55$。这满足$P(A) \geq 0$。

  • $P(\Omega) = 1$，表示股票收益率必然落在我们定义的样本空间内，是确定事件。

  • 可加性：假设$P(B)= P(\text{“大跌”}) = 0.35$，并且显然事件“大涨”和“大跌”是互斥的，那么$P(A \cup B) = P(\text{“大涨” or “大跌”}) = 0.55 + 0.35 = 0.9$。

一些性质：

  1. 空集的概率是0，$P(\emptyset) = 0$， 证明：

令$A_1 = \Omega$，$A_2 = A_3 = \cdots = \emptyset$。根据 (iii) 和 (ii)，可得$P(\emptyset) = 0$。

  1. $P(A^c) = 1 - P(A)$。证明：

$P(A) + P(A^c) = P(A \cup A^c) = P(\Omega) = 1$。

  1. 如果A是B的子集，$A \subset B$，则$P(B) = P(A) + P(B \setminus A) \geq P(A)$。

  2. $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \leq P(A) + P(B)$ 证明：

假设$A \cup B = (AB) \cup (AB^c) \cup (A^cB)$，并且右边的 3 个事件是互斥的。根据定义可知：
$P(A \cup B) = P(AB) + P(AB^c) + P(A^cB)$,
$A = (AB) \cup (AB^c)$，
所以$P(A) = P(AB) + P(AB^c)$
类似地$P(B) = P(AB) + P(A^cB)$。
因此:
$P(A \cup B) = P(AB) + {P(A) - P(AB)} + {P(B) - P(AB)} = P(A) + P(B) - P(AB).$

  1. 布尔不等式（是通过重复应用4.得到的）：
    $P(\bigcup_{i=1}^n A_i) \leq \sum_{i=1}^n P(A_i)$
  2. 如果$A_n \to A$，则$P(A_n) \to P(A)$，这个证明相对复杂，感兴趣的可以自行了解。

我举几个例子你就会发现这些性质其实特别直观，并且一直在用，比如：

  • $P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - 0.55 = 0.45$（下跌或持平的概率）。

  • 如果$P(C) = P( \text{涨幅>2%}) = 0.25$，且$P(A \cap C) = 0.25$（因为$C \subset A$），那么$P(A \cup C) = P(A) + P(C) - P(A \cap C) = 0.55 + 0.25 - 0.25 = 0.55$

  • 布尔不等式：$P(\text{“上涨”} \cup \text{“高交易量”}) \leq P(\text{“上涨”}) + P(\text{“高交易量”})$

独立性

定义

$k$个事件$A_1, \cdots, A_k$被称为 独立的，如果对于任何$1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_j \leq k$和$2 \leq j \leq k$，都有
$P(A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap \cdots \cap A_{ij}) = P(A_{i_1})P(A_{i_2}) \cdots P(A_{ij})$

直观理解。 如果$A$和$B$是独立的，那么$A$的发生不会给我们提供关于事件$B$是否发生的任何信息。例如，两家业务毫无关联、地处不同国家的公司（例如，中国的茅台酒和美国的特斯拉）的股票日收益率通常可以被认为是独立的。知道茅台今天涨了，并不能给你任何关于特斯拉今天表现的信息。

举个例子：
投掷一枚标准的硬币10次，假设$A=$"至少有一个正面"，并定义$T_j$为在第$j$次结果是背面，那么我们可以得到公式：
$P(A) = 1-P(A^c) = 1-P(T_1...T_{10}) = 1-P(T_1)P(T_2)...P(T_{10}) = 1 - 0.5^{10} \approx 0.999$

条件概率与贝叶斯公式

条件概率：
如果$P(B) > 0$，给定$B$发生时$A$的条件概率为

$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}.$

注：
如果A和B是独立的，$P(A|B)=P(A)$
由公式可以显然得到，如果$P(B) \neq 0$, 那么$P(AB)=P(A|B)P(B)$

举个例子：
一个盒子里有4个白球和1个黑球，5个人轮流拿，第二个人拿到黑球的概率是多少？
定义$P(W_i)$为第i个人拿到的是白球，类似$P(B_i)$就是第i个人拿到黑球，那么第二个人拿到黑球就可以写成，
$P(B_2)=P(W_1B_2)=P(W_1)P(B_2|W_1)=\frac{4}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{5}$
所以第二个人拿到黑球的概率和第一个人拿到黑球的概率是一样的。

贝叶斯公式：
令$P(B) > 0$且$P(A_i) > 0$，对于$i = 1, \cdots, k$。那么
$P(A_i|B) = \frac{P(B|A_i)P(A_i)}{\sum_{i=1}^k P(B|A_i)P(A_i)}.$

证明.:
令$A_1, \cdots, A_k$是$\Omega$的一个划分。对于任何事件$B$，$P(B) = P(BA_1) + \cdots + P(BA_k).$ 因为
$B = B\Omega = B(\cup_i A_i) = \cup_i (BA_i)$。由于$BA_1, \cdots, BA_k$是互斥的。根据条件概率定义$P(A_i|B) = P(A_iB)/P(B) = P(B|A_i)P(A_i)/P(B)$。用全概率公式替换$P(B)$，我们得到贝叶斯公式。

举个例子：
小明将他的电子邮件分为 3 类：$A_1 = \text{“垃圾邮件”}, , A_2 = \text{“低优先级”}$ 和 $A_3 = \text{“高优先级”}$。根据以往经验，他得出结论：

$P(A_1) = 0.7, \quad P(A_2) = 0.2, \quad P(A_3) = 0.1.$

令$B$为邮件包含“免费”一词的事件。再次基于以往经验，

$P(B|A_1) = 0.9, \quad P(B|A_2) = 0.1, \quad P(B|A_3) = 0.1.$

他收到一封含有“免费”一词的新邮件。这封邮件是垃圾邮件的概率是多少？

根据贝叶斯定理，

$P(A_1|B) = \frac{P(B|A_1)P(A_1)}{\sum_{i=1}^3 P(B|A_i)P(A_i)} = \frac{0.9 \times 0.7}{0.9\times0.7 + 0.1\times0.2 + 0.1\times0.1} = \frac{0.63}{0.63+0.02+0.01} = \frac{0.63}{0.66} \approx 0.955.$

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